Komponenten

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Geschrieben von robby 25/02/2009 @ 18:04

Tags : komponenten, hardware, high-tech

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Komponenten (Fahrrad)

Manchmal werden auch andere Teile wie etwa die Kette mit angeboten.

Die Komponenten der beiden Marktführer Shimano und Campagnolo sind untereinander nicht austauschbar. Selbst verschiedene Gruppen des gleichen Herstellers sind teilweise nicht miteinander kompatibel.

Die folgenden Beispiele sind Gruppen der zur Zeit bekanntesten Kompontenhersteller. Die Namensnennung erfolgt in qualitativ aufsteigender Reihenfolge, die Namen derzeit nicht mehr produzierter Gruppen sind in Klammern dargestellt.

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Symmetrische Komponenten

In der Elektrotechnik wird die Methode der Symmetrischen Komponenten benutzt, um eine vereinfachte Analyse eines unbalancierten Fehlers in einem Drehstromsystem (Dreiphasen-Wechselstromsystem) vorzunehmen. Dabei wird ein unsymmetrisches System von Phasoren in Mitsystem, Gegensystem und Nullsystem aufgeteilt.

Besitzt die gleiche Umlaufrichtung wie das ursprüngliche System.

Hat eine gegenläufige Richtung zum ursprünglichen System. Es gleicht die Abweichung der Phasoren von der üblichen 120° Phasenverschiebung aus.

Mit der Erweiterung einer einpoligen Darstellung, um die Mit-, Gegen- und Nullsysteme von Generatoren, Transformern und anderen Geräten anzuzeigen, wird die Analyse von unbalancierten Umständen (Erdschlüssen z.B.) sehr vereinfacht. Somit kann ein Netzwerkbetreiber rasch den Ursprung des Fehlers erkennen und beheben. Die Aufteilung in symmetrische Komponenten kann auch auf höhere Phasenordnungen ausgeweitet werden.

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Komponente (UML)

Beispiel für die graphische Darstellung einer Komponente

Eine Komponente (engl. Component) ist ein Modellelement in der Unified Modeling Language (UML), einer Modellierungssprache für Software und andere Systeme.

Komponenten sind modulare Teile eines Systems, die so strukturiert sind, dass sie in ihrer Umgebung durch eine andere, äquivalente Komponente ersetzt werden könnten. In der Softwareentwicklung heißt das entsprechende Konzept Softwarekomponente. Modelliert man komponentenbasierte Systeme mit der UML2, dann steht das Modellelement Komponente für ein derartiges abgeschlossenes Modul.

Komponente ist eine Spezialisierung von Klasse, und sie kann deshalb Strukturmerkmale wie Attribute oder Operationen haben, an Generalisierungen teilnehmen und über Assoziationen mit anderen Komponenten in Beziehung gesetzt werden.

Diese Eigenschaften einer Komponente treten jedoch gegenüber einem anderen Merkmal etwas in den Hintergrund. Wichtig ist vor allem, dass eine Komponente als Modul eine innere Struktur gegen außen abschottet und dafür gegen außen eine Hülle mit wohldefinierten Andockstellen anbietet. Als Konsequenz ergeben sich daraus je nach Standpunkt zwei Sichten auf eine Komponente, eine Black-Box-Sicht, die nur den Rand zeigt, und eine White-Box-Sicht, die auch die innere Struktur zeigt.

Die Andockstellen einer Komponente bestehen aus einer Menge von angebotenen und erforderlichen Schnittstellen sowie allenfalls aus einer Menge von Ports.

Eine Komponente wird ähnlich wie eine Klasse als Rechteck mit einem Namen gezeichnet. Das Schlüsselwort «component» sowie optional ein Symbol in der rechten oberen Ecke unterscheiden die Notation einer Komponente von jener einer Klasse.

Die Black-Box-Sicht einer Komponente zeigt den Rand der Komponente und die Schnittstellen, die die Komponente gegen außen anbietet bzw. die sie von anderen Komponenten beziehen muss. Graphisch können alle Möglichkeiten für die Notation von Schnittstellen verwendet werden (siehe Schnittstelle). Das Beispiel rechts zeigt angebotene Schnittstellen als Lollipops und benötigte als Socket. Möglich wäre auch die Darstellung in Classifier-Form und eine Abhängigkeitsbeziehung zwischen der Schnittstelle und der Komponente.

Das Beispiel rechts verwendet weiter zwei Ports für die Spezifikation der Komponentenhüllen. Einer davon, Management Port, ist benannt.

Die White-Box-Sicht einer Komponente zeigt die innere Struktur der Komponente. Im Beispiel rechts besteht diese Struktur aus drei Teilkomponenten Meldungsspeicher, WebFrontend und Benutzerverwaltung.

Dass das Innere einer Komponente wiederum nur als Komponenten modelliert werden kann, ist nicht zwingend. Es ist Sache des Modellierers, geeignete Modellierungselemente für ein konkretes Modell zu finden. Kandidaten sind neben der Komponente etwa der Part oder ein gekapselter Classifier. Auch Klassen, Schnittstellen oder Subsysteme können je nach Bedarf verwendet werden. Subsysteme sind Komponenten, die mit dem Schlüsselwort «subsystem»gekennzeichnet sind.

Komponenten zeichnen sich vor allem dadurch aus, dass mehrere Komponenten zu einem größeren System, unter Umständen erneut einer Komponente, zusammengefügt werden können, dass man sie in diesem Sinn also komponieren kann. Die UML2 modelliert eine Komposition als Abhängigkeitsbeziehung zwischen der angebotenen Schnittstelle der einen Komponente und einer benötigen Schnittstelle der anderen. Die graphische Notation weist diese Abhängigkeitsbeziehung nicht immer explizit aus. Im Beispiel rechts ist die Komponente EmailManagement mit den Komponenten MailEingang bzw. MailAusgang verbunden, indem die passenden Lollipop- und Socket-Schnittstellen zusammengeführt sind. Eine explizite Abhängigkeitsbeziehung ist zwischen dem Benutzer und der Schnittstelle Betrieb überwachen ausgewiesen.

Das Konzept einer Komponente als Modellelement war schon in der UML 1.4 bekannt. Es hat in der UML2 sowohl Änderungen im Metamodell als auch in der Notation erfahren. In UML2 ist eine Komponente neu eine Spezialisierung von Classifier. Sie kann aus diesem Grund alle Arten von Strukturmerkmalen haben. Die Notation wurde insofern vereinfacht, als eine Komponente nun wie viele anderen Modellelemente auch, als Rechteck dargestellt wird, ohne die beiden aus der UML 1.4 üblichen kleinen zusätzlichen Rechtecke auf dessen Rand.

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Komponentenansatz

Der Komponentenansatz (component approach) ist eine Vorschrift für die Bewertung und Bilanzierung von Sachanlagen (property, plant and equipment) nach IAS/IFRS und wird in IAS 16 (rev. 2003) geregelt.

Charakteristisch ist die methodische Zerlegung des physischen Vermögensgegenstandes für Zwecke der bilanziellen Bewertung in einzelne Bestandteile und deren separate Bewertung.

Nach IAS 16.43 ist der Anschaffungswert bzw. sind die Anschaffungskosten eines Vermögenswertes zwingend auf einzelne Bestandteile zu verteilen, wenn diese wertmäßig als wesentlich (significant) in Relation zum Gesamtvermögenswert anzusehen sind. (Beispiel aus IAS 16.44: ein Flugzeug und seine Triebwerke).

Somit hat der Bilanzierende zunächst den Gesamtwert der Sachanlage zu ermitteln und anschließend eine Zerlegung in wesentliche Komponenten vorzunehmen. Eine Methode hinsichtlich der Bestimmung der Wesentlichkeit von Komponenten oder gar quantitative Grenzen wurden nicht vorgeschrieben.

Nach IAS 16.45 steht es außerdem frei, wesentliche Komponenten einer Anlage mit selbiger Nutzungsdauer und Abschreibungsmethodik zu aggregieren. Auf dieser Basis wird der Abschreibungsaufwand für die Summe gleicher Komponenten ermittelt.

Im Rahmen des Komponentenansatzes wurde die Aktivierung von Ersatzteilen (IAS 16.13) und größeren Wartungsaufwendungen (IAS 16.14) als nachträgliche Anschaffungskosten ermöglicht. (Beispiel Flugzeug: Austausch des Triebwerks nach einer bestimmten Flugstundenzahl.) Der Abschreibungszeitraum für Wartungskosten erstreckt sich i. d. Regel bis hin zur nächsten geplanten größeren Wartung.

Von der Bilanzierung ausgenommen sind z. B. kleinere Wartungs- und Servicekosten. Diese sind erfolgswirksam im Aufwand zu erfassen.

Nach dem Handelsgesetzbuch wäre der Vermögensgegenstand entsprechend dem Aggregatansatz als ein Vermögensgegenstand zu bilanzieren. Der Abschreibungsaufwand errechnet sich folglich auf Basis des Gesamtvermögensgegenstandes.

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Shimano

Shimano u.a. als Presentingsponsor beim Mountainbike Weltcup in Schladming

Insbesondere im Bereich der Schaltungsgruppen für Fahrräder hat Shimano eine überragende Marktstellung. Die Spitzengruppen sind traditionell die XTR für Mountainbikes und die Dura Ace für den Straßenrennsport. Shimano hat als erster Hersteller jeweils komplett aufeinander abgestimmte Gruppen, bestehend aus Schaltwerk, Zahnkranz (oder Getriebenabe im City-Bereich), Kurbeln, Lagern und Bremsen, sowie Schalt- und Bremshebeln einer Leistungsklasse eingeführt, die sich aber auch mischen lassen. Dazu gibt es passende Fahrradcomputer und Pflegemittel.

Die Entwicklung des indexierten Schaltens mit Hyperglide-Zahnkränzen und -Ritzeln war ein technischer Meilenstein für moderne und einfach zu bedienende Fahrradschaltungen. Direkte Konkurrenten sind Campagnolo aus Italien und SRAM aus den USA. Der einstige japanische Konkurrent Suntour hat kaum noch eine Bedeutung.

Durch aggressives Marketing sowie entsprechende Verträge mit Ausrüstern hat Shimano ähnlich wie der Software-Hersteller Microsoft eine Marktdominanz erreicht, die technischen Weiterentwicklungen der Konkurrenz (z. B. auskuppelbarer Nabendynamo von Renak) kaum eine Chance auf Marktdurchdringung geben.

Teure Funktionsgruppen unterscheiden sich häufig nur im Finish und im aufwendigeren Design von den Gruppen im mittleren Preissegment. Beispielsweise waren (sind?) Rückholfedern in Rapidfire-Schalteinheiten technologisch in fast allen Gruppen gleich konstruiert, einzeln als Verschleißteil jedoch nicht erhältlich.

Die Baugruppen der niedrigeren Preiskategorie sind speziell bei Lagerung und Laufkomfort deutlich schwächer ausgeführt, wodurch man eigentlich nur mit den Baugruppen der mittleren Qualität zufriedenstellend lange fahren kann bzw. das entsprechende Preis-Leistungsverhältnis stimmt.

Der sehr schnelle Modellwechsel zusammen mit der emotionalen Verführbarkeit des Kunden durch Design und Ergonomie (viele funktionale Bauteile sind hochglanzlackiert, was sie bereits bei einem leichten Sturz entsprechend minderwertig erscheinen lässt) fordern den Kunden beispielsweise geradezu auf, eine defekte, am Lenker paarweise montierte Schalt-/Bremseinheit auch paarweise zu tauschen.

Schlechte Ersatzteilversorgung. Ersatzteile sind nur für maximal drei Jahre alte Komponenten erhältlich, und dann auch nur stark begrenzt. Häufig bedeutet der Ausfall eines kleinen Einzelteils (beispielsweise einer Feder), dass das gesamte Bauteil neu gekauft werden muss. Speziell in diesem Punkt sind starke Unterschiede zum Konkurrenten Campagnolo erkennbar.

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Tensor

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Als Tensor bezeichnet man eine Verallgemeinerung des Vektorbegriffs in der Differentialgeometrie und der Physik.

In der Physik tauchen Vektoren und Matrizen vor allem als Darstellungen linearer Abbildungen auf (z. B. das Trägheitsmoment). Dies hat zur Folge, dass sich die Darstellungen dieser Größen bei einer Koordinatentransformation in charakteristischer Weise ändern. Mehrdimensionale 'Matrizen' mit entsprechendem Transformationsverhalten werden als Tensoren bezeichnet.

In der Mathematik wird der Begriff allgemeiner über das Tensorprodukt von Moduln und Algebren definiert.

Das Wort Tensor (lat. tendo: ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn.

Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein unter großer Mühe die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes stillschweigend summiert wird.

Diese Richtungsabhängigkeit bedeutet, dass das Trägheitsmoment J eine tensorielle Größe ist, genauer ein Tensor zweiter Stufe, der Trägheitstensor. „Stufe zwei“ besagt dabei, dass zwei Vektoren beteiligt sind, in der ersten Formel wird über den Trägheitstensor J der Vektor auf den Vektor abgebildet (lineare Abbildung), in der zweiten Energieformel tritt der Tensor als Bestandteil einer Bilinearform auf, die dem Drehimpuls-Vektor einen Skalar zuordnet (die Energie). Tensoren der zweiten Stufe können also grob gesagt aus Vektoren wieder Vektoren machen oder aus Paaren von Vektoren Zahlen. Mathematisch entspricht das einer linearen Abbildung bzw. einer Bilinearform, die sich beide durch eine -Matrix beschreiben lassen. Rechnerisch ist ein Tensor zweiter Stufe also nichts anderes als eine (quadratische) Matrix. Durch Hauptachsentransformation der Matrix lassen sich die Haupt-Trägheitsmomente bestimmen (siehe Trägheitsellipsoid).

Oft wird der Tensor nur mit dem in Klammern stehenden indexbehafteten Symbol bezeichnet.

Jeder Index, beispielsweise i1, durchläuft einen vorbestimmten Wertebereich natürlicher Zahlen, beispielsweise i1 = 1,2,3. Zu jeder möglichen Indexkombination enthält der Tensor eine reelle oder komplexe Zahl. Die indizierte Größe kann sowohl ein Skalar (n = 0), einen Vektor (n = 1) oder eine Matrix (n = 2) darstellen. Insofern handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Größen Skalar, Vektor und Matrix.

Es muss aber betont werden, dass für Tensoren ein bestimmtes Transformationsverhalten unter Koordinatentransformationen gefordert wird. Das sind zum Beispiel Drehungen im gewöhnlichen euklidischen Raum oder Lorentz-Transformationen in der Relativitätstheorie. In beiden Fällen lassen die Transformationen eine quadratische Form invariant (die eine Metrik in den zugrundeliegenden Vektorräumen definiert). Man spricht dann auch davon, das die entsprechenden Tensoren "Darstellungen" der entsprechenden Gruppen von Transformationen bilden.

Dabei sind v1 und v2 jeweils ein beliebiges Element des Vektorraumes V; w1 und w2 sind jeweils ein beliebiges Element des Vektorraumes W; λ ist ein beliebiges Element des Grundkörpers K.

Dabei ist eine Basis des Vektorraums V(k), aus welchem der k-te Faktor des Tensorproduktes stammt. Fasst man die Koeffizienten dieser Basisdarstellung zu einem mehrfach indizierten Tupel zusammen, so entsteht die obige Tensordarstellung.

Indem man die ei für jedes i über eine Basis von Vi laufen lässt und die Basisdarstellung von Tensoren verwendet, sieht man, dass sich jeder Tensor T als Summe solcher 'Elementartensoren' schreiben lässt. Also ist ein Tensor ein Element von . Analog sind im allgemeinen Fall die multilinearen Abbildungen mit den Tensoren aus dem Produkt eineindeutig identifizierbar.

Die Unterscheidung eines Vektorraums V und seines Dualraums V * ist wesentlich für die korrekte Herleitung des Transformationsverhaltens eines Tensors (genauer, seiner Koeffizienten) bei einem Basiswechsel.

Jeder der Vektorräume besitzt eine Basis. Als Basisvektoren der jeweiligen Vektorräume werden bezeichnet. Der erste Index unterscheidet dabei die Basisvektoren des jeweiligen Vektorraums, der Vektorraum selbst wird mit dem zweiten Index gekennzeichnet. stellt also den k-ten Basisvektor des Vektorraums V1 dar. Der Vektorraum V1 hat eine bestimmte Dimension d, so dass er d Basisvektoren besitzt. Das gilt entsprechend für alle Vektorräume .

Handelt es sich bei dem Tensor T um Elemente eines mehrdimensionalen Vektorraums W, so ist nach obiger Definition ein Element aus diesem Vektorraum W. T kann wiederum nach den Basisvektoren dieses Vektorraums W entwickelt werden. Dadurch können die Koordinaten als rein skalare Größen dargestellt werden. Die Koordinaten erhalten in dieser Darstellung einen weiteren Index i.

Die Größen bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen und . Das gilt für alle .

Wichtig: Es wird in der Regel zwischen den Koordinatendarstellung des Tensors und den Transformationsmatrizen unterschieden. Die Transformationsmatrix ist zwar eine indizierte Größe aber kein Tensor. Im euklidischen Raum sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z.B. Lorentz-Transformationen, die sich auch als "Drehungen" in einem vierdimensionalen Minkowskiraum auffassen lassen (man spricht in diesem Fall auch von Vierertensoren und Vierervektoren).

Das Levi-Civita-Symbol , das zur Berechnung des Kreuzprodukts zwischen Vektoren gebraucht wird, ist ein Tensor dritter Stufe. Es gilt . Man schreibt .

Beide Symbole werden häufig verwendet, um Symmetrieeigenschaften von Tensoren zu untersuchen. Das Kronecker-Delta ist symmetrisch bei Vertauschungen der Indizes, das Levi-Civita-Symbol antisymmetrisch, so dass man mit ihrer Hilfe Tensoren in symmetrische und antisymmetrische Anteile zerlegen kann. In Tensordarstellungen z. B. der Drehgruppe SO(n) erhält man so eine Zerlegung in irreduzible Darstellungen (das heißt Unterräume der Tensorräume, die bei Drehungen in sich transformieren und dabei keine unter Drehungen invariante Unterräume haben).

Ein Beispiel für einen Tensor 2. Stufe ist auch der oben diskutierte Trägheitstensor. In der Elastizitätstheorie verallgemeinert man die Hooke'sche Gleichung über den Zusammenhang zwischen Kräften und zugehörigen Dehnungen und Verzerrungen in einem elastischen Medium ebenfalls mit Hilfe der Tensorrechnung durch Einführung des Verzerrungstensors (der Verzerrungen, Deformationen beschreibt) und Spannungstensors (der die die Deformationen verursachenden Kräfte beschreibt, siehe Kontinuumsmechanik). Der Energie-Impuls-Tensor Tαβ und der elektromagnetische Feldstärketensor Fαβ (als Beispiel eines Feldstärketensors) in der Relativitätstheorie sind Tensoren zweiter Stufe auf der vierdimensionalen Basis der Raumzeit. In der Multipol-Analyse physikalischer Felder ist das Dipolmoment ein Vektor und das Quadrupolmoment ein Tensor 2. Stufe.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Differentialgleichungen für den metrischen Tensor aufgestellt, die den riemannschen Krümmungstensor mit dem Energie-Impuls-Tensor in Beziehung setzen. Dabei wird der metrische Tensor als ortsabhängige Funktion betrachtet ("Tensorfeld") und der für die Differentialgeometrie entwickelte Formalismus der Analysis auf Mannigfaltigkeiten verwendet (Tensoranalysis) mit dem grundlegenden Begriff der kovarianten Ableitung.

Die Vektoren eines Vektorraumes V sind "Tensoren der Stufe 1". Ihr Koordinatentupel bzgl. einer gegebenen Basis , n = dimV, wird als kontravarianter Vektor bzw. Tensor bezeichnet.

Die Koordinaten xi eines kontravarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen hochgestellten Index i.

Die Vektoren des dualen Vektorraums V * , d.h. lineare Funktionale, sind ebenfalls Vektoren, das heißt Tensoren der Stufe 1. Koordinaten eines solchen Vektors sind die Werte des Funktionals auf der Basis des Vektorraums. Das Tupel dieser Werte wird als kovariante Vektoren bzw. Tensoren bezeichnet.

In vielen Anwendungen ist dabei K der Körper der reellen Zahlen.

Die Koordinaten eines kovarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen tiefgestellten Index i.

Man definiert einen Tensor vom Grad (r, s) als multilineare Abbildung mit r Argumenten v1,...,vr und s Argumenten λ1,...,λs. Die Argumente v1,...,vr sind Elemente eines Vektorraumes V und λ1,...,λs Argumente des zum Vektorraum gehörenden Dualraumes V * .

Die Summe r + s heißt Stufe oder Rang des Tensors.

Je nachdem, ob die Argumente aus einem Vektorraum sind oder aus dessen Dualraum, wird der Tensor als kovariant oder kontravariant bezeichnet. Im obigen Fall liegt ein r-fach kovarianter, s-fach kontravarianter Tensor vor.

In der Relativitätstheorie verwendet man dabei statt der euklidischen Metrik diejenige des Minkowskiraumes. Noch allgemeinere Metriken (allerdings mit derselben Signatur wie die Minkowski-Metrik) werden in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet.

Das oben definierte Produkt zweier Tensoren wird in der Indexdarstellung gebildet, indem die beiden Indextupel in der Reihenfolge ihres Auftretens unter Beibehaltung aller hoch- und Tiefstellungen zum Indextupel eines neuen Tensors aneinandergekoppelt werden. Dabei sind die Indizes beider Tensoren als voneinander verschieden zu betrachten und notieren. Die Komponenten des neuen Tensors ergeben als Produkte der Komponenten der alten Tensoren, deren Indexbelegungen die Indexbelegung der Komponente des neuen Tensors ergeben. Zum Beispiel ist das Produkt von Tensoren Aij und Bijk ein Tensor fünfter Stufe . Dessen Komponente C21321 ist das Produkt der Komponenten A21 und B321.

Diese Operation heißt Verjüngung des Tensors. Es ist also Aii ein Skalar, welcher die Summe aller Diagonalelemente einer mit A assoziierten Matrix ist, die sogenannte "Spur". Biji ist nicht definiert, Bijj ein Tensor erster Stufe.

Haben in einem Tensorprodukt die aneinanderliegenden äußeren Enden der Indextupel unterschiedliche Stellung, aber gleiche Indexdimension, so können diese im Produkt gleichgesetzt und damit automatisch heraussummiert werden. Diese Kombination aus Produkt und Verjüngung nennt sich Überschieben der Tensoren. Beispielsweise kann Aij Bijk zu einem Tensor dritter Stufe überschoben werden. Ein Spezialfall ist das Matrix-Matrix-Produkt . Ein Tensor höherer Stufe kann auch mehrfach mit Vektoren überschoben werden, bis alle Indizes aufgebraucht sind, F = BijkCkDjEi ist ein Skalar, der sich aus der Auswertung von B als Multilinearform ergibt.

Welcher Blickwinkel gerade verwendet wird, ergibt sich aus dem Kontext.

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er (bis auf Isomorphie) eindeutig. Es wird und notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel Tensorprodukt verwiesen.

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei K ein Körper, also beispielsweise oder , und es seien Vektorräume über K.

Die Tensoren der Form heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Es sei V ein fester endlichdimensionaler Vektorraum über K.

Beispielsweise sind (0,0)-Tensoren Skalare, (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums und (1,0)-Tensoren Linearformen auf V. (1,1)-Tensoren können mit Endomorphismen von V und (2,0)-Tensoren mit Bilinearformen auf V identifiziert werden (siehe unten).

In der Differentialgeometrie spielen Tensorfelder eine wichtige Rolle: Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf M eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet. Meist werden auch noch gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften gefordert.

Siehe auch: Tensoralgebra, äußere Algebra, symmetrische Algebra.

Sei V ein fester K-Vektorraum und W ein beliebiger weiterer K-Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt kovariant bezüglich V, eine lineare Abbildung heißt kontravariant in V.

Eine Quelle der Verwirrung über diese Begriffe ist, dass in der Physik und älteren Lehrbüchern davon gesprochen wird, dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren. Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um - eine kovariante Abbildung hat eine Matrix, die kontravariant bzgl. Basiswechsel ist und umgekehrt.

Das Quadrat dieser Abbildung ist die Identität, woraus folgt, dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt.

Mittels können Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen.

Man muss deshalb damit rechnen, dass Tensoren in verschiedenen Anwendungsgebieten verschieden definiert, verschieden notiert und verschieden gehandhabt werden.

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Source : Wikipedia